mercoledì 29 ottobre 2014

Un nuovo video didattico

Una lezione sulla meccanica aristotelica (può fornire materiale da usare in classe, ovviamente al liceo, ma anche nelle scuole medie, con opportune semplificazioni)

mercoledì 8 ottobre 2014

Bestiario matematico (serie II).4

L'UCAS (Ufficio Complicazione Affari Semplici) in azione:

Chiunque abbia avuto la ventura di sentir parlare di insiemi in un discreto corso universitario sa che questo concetto può essere introdotto in tre modi:
a) cercando di definirlo in termini contenutistici, il che pone di fronte a difficilissimi problemi affrontabili al livello di un corso universitario specializzato di logica-matematica o filosofia della matematica e che comunque sono aperti;
b) evitando ogni definizione contenutistica e definendo gli insiemi in modo assiomatico, per esempio con l’assiomatica di Zermelo-Frankel o di Bernays-von Neumann, il che tuttavia mette su una strada assai difficile dal punto di vista della logica-matematica;
c) evitare entrambi questi approcci considerando il concetto di insieme da un punto di vista intuitivo, e cioè come sinonimo dei termini del linguaggio comune “aggregato”, “collezione”, ecc. e occupandosi delle regole operative (unione, intersezione, ecc.) di questi enti assegnati secondo il senso comune.
È quest'ultimo l’approccio seguito in tutti i corsi universitari di matematica, figuriamoci se non dovrebbe essere quello seguito a scuola.
E invece no.
L’UCAS (Ufficio Complicazione Affari Semplici) è sempre attivo, notte e giorno, e molti libri di testo scolastici oltre che lezioni in rete (non li citiamo perché purtroppo sono troppi) si affannano a dare una definizione di cos’è un insieme.
In uno di questi “luoghi” si “definisce” un insieme come un aggregato di oggetti definiti da una proprietà e, per giunta, da una proprietà “oggettiva”, perché l’insieme delle mele grandi sarebbe un concetto opinabile e quindi non definibile in modo univoco. Inutile dire che cosa resti dopo una simile definizione. Se considero l’insieme di tutte le mele e di tutte le pere, non posso far altro che definire come proprietà che definisce l’insieme l’essere mela o pera, altrimenti non si vede perché non dovrebbero starvi anche le ciliegie. Pura tautologia. Se definisco un insieme come quello delle mele marce, l’oggettività non è garantita perché per taluno una mela molto matura non può essere definita marcia. Inoltre, anche in contesto matematico, infinità di insiemi non sarebbero tali: l’insieme composto da 2 e 71 non sarebbe un insieme (questi numeri non sono legati da alcuna proprietà comune) e persino l’insieme vuoto, in quanto intersezione di insiemi privi di proprietà comuni, come i pari e i dispari, non sarebbe un insieme…
Un gruppo di autori di queste sottili definizioni – adatte a rimpinzare la mente dei poveri studenti di concetti inutili oltre che sbagliati, e ad addestrarli a odiare la matematica – ha risposto risentito alle nostre osservazioni osservando che l'insieme delle pere e delle mele è certamente un insieme perché, per definizione, questa è una proprietà caratteristica, in quanto pere e mele sono due sottoinsiemi (di che?), con proprietà caratteristiche oggettive la cui "unione" genera l'insieme citato. Già, ma quella sarebbe la proprietà caratteristica che definisce l'insieme unione? Che deve esservi, altrimenti non sarebbe un insieme e che non può essere "eredità" delle precedenti altrimenti siamo alla ridicola tautologia e a una perdita di tempo e neuroni. Non certamente quella di essere dei frutti, altrimenti perché non le ciliegie, come dicevamo? Ma, a ben vedere, non esiste neppure quella degli insiemi originari: essere frutta è troppo generico ed esser mele è tautologico. Sarebbe come dire che l'insieme delle mele è quell'insieme i cui elementi sono mele. Ma, per favore... I nostri interlocutori aggiungono che sarebbe importante che il criterio sia oggettivo, mentre "l'insieme delle mele piccole e delle pere piccole” non è un insieme in quanto è soggettivo considerare una mela piccola o una mela grande. L'obiezione è evidente, se ne possono fare a centinaia e comunque mettersi sulla strada di dover spiegare il concetto di "oggettività" ai bambini", uno dei più complessi della filosofia... Tanti auguri... I poveri bambini, o ragazzini, che potrebbero accedere a un'idea semplice – e controversa soltanto a livelli superiori – vengono rigettati su concetti suscettibili di mille controesempi o di una nozione di grande difficoltà. Comunque, col risultato sbagliatissimo di escludere infinità di insiemi dal concetto di insieme.
I nostri interlocutori dicono di aver tratto queste idee da libri adottati da centinaia di scuola. Una tragedia. Non ne dubitiamo, purtroppo, come non dubitiamo che ogni autori scaricherà la colpa sul "vicino".
Non sarebbe piuttosto il caso di ragionare con la propria testa e studiando libri seri, facendosi idee serie? Si constaterbbe che qualsiasi manuale serio di algebra o di matematica che ricorra alla teoria degli insieme propone l'approccio c).
Noi proponiamo come primo spunto le osservazione di un celebre matematico francese nel suo manuale di algebra, Roger Godement:
«In certi manuali di algebra in uso nei liceo si trovano frasi del tipo: «dicesi insieme ogni collezione di oggetti della stessa natura». La prima obiezione a questa "definizione" è che riduce la parola insieme alla parola collezione: i due termini sono sinonimi d quindi trattasi di un evidente calembour. La seconda obiezione è che gli autori dei manuali in questione non provano alcuna difficoltà a formare un insieme riunendo due insiemi qualsiasi, per esempio di mele e pere: ne segue che mele e pere sono oggetti della stessa natura! Questo esempio mostra a quali assurdità si arriva tentando per ragioni "pedagogiche" di dare della parola insieme una definizione elementare. Sarebbe preferibile dire che si considera la nozione di insieme come una nozione primitiva che non si definisce (e che chiunque capisce intuitivamente) e mediante la quale si possono costruire relazioni su cui si può ragionare logicamente».