mercoledì 8 ottobre 2014

Bestiario matematico (serie II).4

L'UCAS (Ufficio Complicazione Affari Semplici) in azione:

Chiunque abbia avuto la ventura di sentir parlare di insiemi in un discreto corso universitario sa che questo concetto può essere introdotto in tre modi:
a) cercando di definirlo in termini contenutistici, il che pone di fronte a difficilissimi problemi affrontabili al livello di un corso universitario specializzato di logica-matematica o filosofia della matematica e che comunque sono aperti;
b) evitando ogni definizione contenutistica e definendo gli insiemi in modo assiomatico, per esempio con l’assiomatica di Zermelo-Frankel o di Bernays-von Neumann, il che tuttavia mette su una strada assai difficile dal punto di vista della logica-matematica;
c) evitare entrambi questi approcci considerando il concetto di insieme da un punto di vista intuitivo, e cioè come sinonimo dei termini del linguaggio comune “aggregato”, “collezione”, ecc. e occupandosi delle regole operative (unione, intersezione, ecc.) di questi enti assegnati secondo il senso comune.
È quest'ultimo l’approccio seguito in tutti i corsi universitari di matematica, figuriamoci se non dovrebbe essere quello seguito a scuola.
E invece no.
L’UCAS (Ufficio Complicazione Affari Semplici) è sempre attivo, notte e giorno, e molti libri di testo scolastici oltre che lezioni in rete (non li citiamo perché purtroppo sono troppi) si affannano a dare una definizione di cos’è un insieme.
In uno di questi “luoghi” si “definisce” un insieme come un aggregato di oggetti definiti da una proprietà e, per giunta, da una proprietà “oggettiva”, perché l’insieme delle mele grandi sarebbe un concetto opinabile e quindi non definibile in modo univoco. Inutile dire che cosa resti dopo una simile definizione. Se considero l’insieme di tutte le mele e di tutte le pere, non posso far altro che definire come proprietà che definisce l’insieme l’essere mela o pera, altrimenti non si vede perché non dovrebbero starvi anche le ciliegie. Pura tautologia. Se definisco un insieme come quello delle mele marce, l’oggettività non è garantita perché per taluno una mela molto matura non può essere definita marcia. Inoltre, anche in contesto matematico, infinità di insiemi non sarebbero tali: l’insieme composto da 2 e 71 non sarebbe un insieme (questi numeri non sono legati da alcuna proprietà comune) e persino l’insieme vuoto, in quanto intersezione di insiemi privi di proprietà comuni, come i pari e i dispari, non sarebbe un insieme…
Un gruppo di autori di queste sottili definizioni – adatte a rimpinzare la mente dei poveri studenti di concetti inutili oltre che sbagliati, e ad addestrarli a odiare la matematica – ha risposto risentito alle nostre osservazioni osservando che l'insieme delle pere e delle mele è certamente un insieme perché, per definizione, questa è una proprietà caratteristica, in quanto pere e mele sono due sottoinsiemi (di che?), con proprietà caratteristiche oggettive la cui "unione" genera l'insieme citato. Già, ma quella sarebbe la proprietà caratteristica che definisce l'insieme unione? Che deve esservi, altrimenti non sarebbe un insieme e che non può essere "eredità" delle precedenti altrimenti siamo alla ridicola tautologia e a una perdita di tempo e neuroni. Non certamente quella di essere dei frutti, altrimenti perché non le ciliegie, come dicevamo? Ma, a ben vedere, non esiste neppure quella degli insiemi originari: essere frutta è troppo generico ed esser mele è tautologico. Sarebbe come dire che l'insieme delle mele è quell'insieme i cui elementi sono mele. Ma, per favore... I nostri interlocutori aggiungono che sarebbe importante che il criterio sia oggettivo, mentre "l'insieme delle mele piccole e delle pere piccole” non è un insieme in quanto è soggettivo considerare una mela piccola o una mela grande. L'obiezione è evidente, se ne possono fare a centinaia e comunque mettersi sulla strada di dover spiegare il concetto di "oggettività" ai bambini", uno dei più complessi della filosofia... Tanti auguri... I poveri bambini, o ragazzini, che potrebbero accedere a un'idea semplice – e controversa soltanto a livelli superiori – vengono rigettati su concetti suscettibili di mille controesempi o di una nozione di grande difficoltà. Comunque, col risultato sbagliatissimo di escludere infinità di insiemi dal concetto di insieme.
I nostri interlocutori dicono di aver tratto queste idee da libri adottati da centinaia di scuola. Una tragedia. Non ne dubitiamo, purtroppo, come non dubitiamo che ogni autori scaricherà la colpa sul "vicino".
Non sarebbe piuttosto il caso di ragionare con la propria testa e studiando libri seri, facendosi idee serie? Si constaterbbe che qualsiasi manuale serio di algebra o di matematica che ricorra alla teoria degli insieme propone l'approccio c).
Noi proponiamo come primo spunto le osservazione di un celebre matematico francese nel suo manuale di algebra, Roger Godement:
«In certi manuali di algebra in uso nei liceo si trovano frasi del tipo: «dicesi insieme ogni collezione di oggetti della stessa natura». La prima obiezione a questa "definizione" è che riduce la parola insieme alla parola collezione: i due termini sono sinonimi d quindi trattasi di un evidente calembour. La seconda obiezione è che gli autori dei manuali in questione non provano alcuna difficoltà a formare un insieme riunendo due insiemi qualsiasi, per esempio di mele e pere: ne segue che mele e pere sono oggetti della stessa natura! Questo esempio mostra a quali assurdità si arriva tentando per ragioni "pedagogiche" di dare della parola insieme una definizione elementare. Sarebbe preferibile dire che si considera la nozione di insieme come una nozione primitiva che non si definisce (e che chiunque capisce intuitivamente) e mediante la quale si possono costruire relazioni su cui si può ragionare logicamente».

9 commenti:

  1. Che si debba perdere tempo a confutare chi sostiene simili assurdità è deprimente... può darsi che sia il caso di iniziare a fare un Indice dei libri scolastici che sostengono ciò che è stato evidenziato nei bestiari?

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  2. Se lo fa si becca una querela: questa è ormai l'Italia...

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  3. Il caso descritto dal prof. Israel è senza dubbio deprimente. Tuttavia, il fatto che Godement già nel suo libro di Algebra, che risale al 1964, abbia puntato il dito sull’errore, significa che l’errore in questione non è nuovo, visto che appunto già si trovava nei manuali usati nei licei a quel tempo. Bisognerebbe però andare a vedere in che proporzione quell’errore era diffuso nel 1964, e in che proporzione è diffuso oggi. Qualcosa mi dice che oggi l’errore sia diffusissimo. Questo sarebbe il vero scandalo. Infatti, in tutte le epoche si trovano persone mediocri che non hanno capito certe cose, ma il dilagare della mediocrità è sinonimo di degenerazione, e purtroppo credo che sia proprio la situazione in cui ci troviamo. Prova ne sia il fatto che oggi gli studenti escono dalla maturità e non conoscono i tre risultati fondamentali della matematica greca: 1. non esiste un numero razionale il cui quadrato sia uguale a 2; i numeri primi sono infiniti; la tecnica della “esaustione” per il calcolo delle aree o dei volumi. Qualcosa mi dice che nel 1964 non era così, ma poiché ero nato da poco non posso al momento metterci la mano sul fuoco.

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  4. Secondo me, la sua analisi è del tutto corretta

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  5. Chiedo scusa, mi sembra di aver peccato di eccesso di zelo. Il prof. Israel ha scritto chiaramente quanto segue.

    “I nostri interlocutori dicono di aver tratto queste idee da libri adottati da centinaia di scuola. Una tragedia. Non ne dubitiamo, purtroppo, come non dubitiamo che ogni autori scaricherà la colpa sul "vicino”.”

    Nemmeno io ho ragione di dubitarne. Dunque? Dunque sembra proprio che siamo di fronte a una degenerazione. Del resto, se al prof. Israel riesce facile mantenere aperta una rubrica sulle asinerie che si trovano nei libri di testo, è chiaro che evidentemente il materiale abbonda. E questi signori evidentemente si sentono forti di essere in tanti, visto che rispondono “così fan tutti”. Ora, non sono esperto nel campo delle querele, ma osservo che se un Pippo scrive una memoria scientifica contenente un errore, di solito ci sarà un Pluto che ne scrive un’altra in cui refuta l’affermazione erronea contenuta nella memoria di Pippo, senza che Pippo si senta in diritto di querelare Pluto. Mi domando, senza voler in alcun modo addebitare l’onere di questa impresa su qualcuno in particolare, se non sia il caso di preparare un dossier, in cui tutti questi errori vengono rilevati per quello che sono: errori, con nome e cognome, a cui gli interessati sono chiamati a rimediare, senza pensare a sporgere querele. Purtroppo non credo che questa impresa da sola ci tirerebbe fuori dallo stato degenerativo in cui ci troviamo, però forse sarebbe utile lo stesso.

    Comunque, colgo l’occasione per ringraziare il prof. Israel per tutto quello che fa in merito ai problemi della didattica.

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  6. Gentilissimo Professore,
    mio figlio ha iniziato le medie e studia effettivamente una matematica UCAS; mi sembra tuttavia ancora più inquietante la situazione delle Scienze. In terza elementare si inizia con il darwinismo dogmatico, poi si prosegue con biologia spinta, da scuola superiore (apparato escretore, tubuli, glomeruli etc.). Ora siamo al dottorato per undicenni: cellula, mitocondri, cromatidi, fusi, DNA ... Il bambino ci capisce poco, e pure io ... Non ricordo nulla di tutto questo trent'anni fa: ricordo invece molta matematica e geometria dimostrativa. Si è perso il senso dell'istruzione progressiva ed è subentrato uno scientismo che si traduce in un grottesco propinare nozioni inadatte all'età. Del resto Ichino ha dichiarato che bisogna abbandonare l'aoristo e seguire il mitocondrio. Ci vorrebbe Totò a commentare ...

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  7. Basta guardare questo blog. Per aver detto che è inaccettabile che si accreditino dei corsi in cui s'insegna cos'è l'insieme vuoto e l'insieme "pieno" (sic), abbiamo ricevuto una diffida da un avvocato con minaccia di adire alle vie giudiziarie... Non ricordo quale dei due Ichino abbia detto quella ineffabile battuta che avrebbe più che altro destato l'invidia di Totò.

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  8. Purtroppo tra i dommilani, gli ichini, i berlinguerri, i demauri e i gelmini la nostra bella scuola, impostata ottanta anni fa da persone serie e colte, sta facendo una brutta fine ...

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  9. Ciò che personalmente trovo disgustoso e grave - ma nulla suscita più sdegno in questo malpaese - è che ogni libro di testo contenga riferimenti all'informatica sulla copertina, dentro, ovunque: la parola Epica deve essere scritta con la chiocciola in fondo, la matematica è multimediale, il libro di greco interattivo. Ma questi sono favori giganteschi che noi facciamo a potenti multinazionali! Verremo ricordati, fra duecento anni, come coloro che si prestarono a pubblicizzare gratuitamente la tecnologia attraverso istituzioni statali?

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